PAU CataluñaConvocatòria ordinaria

Matemáticas PAU Cataluña 2025

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Exercicis de l'examen8 exercicis

PAU CAT 2025 — Cuestión 3.cDificultat 3/5

Estudie los máximos y mínimos de la función $f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$ , definida para $x > 0$ . ¿En qué abscisa se alcanza el extremo relativo?

x = 1

x = e

x = \sqrt{e}

x = e^2

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$x = \sqrt{e}$

¡Correcto!

f^{\prime}(x) = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}

. Se anula cuando

1 - 2\ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 1/2 \Rightarrow x = \sqrt{e} = e^{1/2}

(es un máximo).

Derivando por la regla del cociente,

f^{\prime}(x) = \dfrac{1 - 2\ln x}{x^3}

. La derivada se anula cuando

1 - 2\ln x = 0

, es decir

\ln x = 1/2

, de donde

x = \sqrt{e}

. Ahí

f

alcanza un máximo relativo.

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PAU CAT 2025 — Cuestión 3.cDificultat 3/5

La función $f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2}$ ( $x > 0$ ) tiene un máximo en $x = \sqrt{e}$ . Calcule el valor máximo que alcanza.

\dfrac{1}{2\sqrt{e}}

\dfrac{1}{2e}

\dfrac{1}{e}

\dfrac{1}{e^2}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$\dfrac{1}{2e}$

¡Correcto!

f(\sqrt{e}) = \dfrac{\ln\sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} = \dfrac{1/2}{e} = \dfrac{1}{2e} \approx 0,184

Sustituyendo

x = \sqrt{e}

f(\sqrt{e}) = \dfrac{\ln\sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} = \dfrac{1/2}{e} = \dfrac{1}{2e} \approx 0,184

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PAU CAT 2025 — Cuestión 4, Opción A.aDificultat 3/5

Considere los puntos $A = (1, 2, 3)$ y $B = (-3, -2, 3)$ . Halle la ecuación del plano $\pi$ perpendicular a la recta $AB$ que pasa por el punto medio de $A$ y $B$ (lugar de los puntos equidistantes de $A$ y $B$ ).

x + y + 1 = 0

x + y - 3 = 0

x + y + z + 1 = 0

x + y - 1 = 0

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x + y + 1 = 0$

¡Correcto!

\vec{AB} = (-4, -4, 0)

(normal del plano, simplificable a

(1,1,0)

); punto medio

M = (-1, 0, 3)

. Plano:

(x+1) + (y-0) = 0 \Rightarrow x + y + 1 = 0

El plano mediador de

A

B

tiene como vector normal

\vec{AB} = (-4,-4,0)

(proporcional a

(1,1,0)

) y pasa por el punto medio

M = (-1,0,3)

. Su ecuación es

(x+1) + (y-0) = 0

, es decir

x + y + 1 = 0

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PAU CAT 2025 — Cuestión 4, Opción A.cDificultat 3/5

Sean $A = (1, 2, 3)$ , $B = (-3, -2, 3)$ y $C = (-7, 6, 3)$ . ¿Es isósceles el triángulo $ABC$ ? Indique qué lados son iguales.

AIsósceles con

AB = AC

BIsósceles con

AC = BC

CEquilátero

DEscaleno (ninguno igual)

Veure solució

Resposta correcta — opció B

Isósceles con $AC = BC$

¡Correcto!

|AB| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{32}

;

|AC| = \sqrt{(-8)^2+4^2} = \sqrt{80}

;

|BC| = \sqrt{(-4)^2+8^2} = \sqrt{80}

. Es isósceles con

AC = BC

Las longitudes son

|AB| = \sqrt{(-4)^2+(-4)^2} = \sqrt{32}

|AC| = \sqrt{(-8)^2+4^2} = \sqrt{80}

|BC| = \sqrt{(-4)^2+8^2} = \sqrt{80}

. Como

AC = BC

, el triángulo es isósceles.

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PAU CAT 2025 — Cuestión 4, Opción A.cDificultat 3/5

Calcule el área del triángulo de vértices $A = (1, 2, 3)$ , $B = (-3, -2, 3)$ y $C = (-7, 6, 3)$ .

A48

B12

C24

D40

Veure solució

Resposta correcta — opció C

¡Correcto!

\vec{AB} = (-4,-4,0)

\vec{AC} = (-8,4,0)

;

\vec{AB}\times\vec{AC} = (0,0,-48)

, de módulo 48. Área

= \frac{1}{2}·48 = 24

Con

\vec{AB} = (-4,-4,0)

\vec{AC} = (-8,4,0)

, el producto vectorial es

\vec{AB}\times\vec{AC} = (0,0,-48)

, de módulo 48. El área del triángulo es

\frac{1}{2}·48 = 24

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PAU CAT 2025 — Cuestión 4, Opción B.aDificultat 3/5

Se quiere construir un cobertizo de madera de 6 m³ en forma de prisma rectangular, adosado a la pared de una casa (que hace de pared del fondo). Hay que construir el techo y tres paredes. La anchura es el triple de la profundidad $x$ . Cada m² de pared cuesta 30 € y el m² de techo 50 €; añadir la puerta cuesta 35 € fijos. ¿Cuál es la función de coste $C(x)$ ?

C(x) = \dfrac{360}{x} + 150x^2 + 35

C(x) = \dfrac{300}{x} + 150x^2 + 35

C(x) = \dfrac{300}{x} + 50x^2 + 35

C(x) = \dfrac{300}{x} + 150x^2

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$C(x) = \dfrac{300}{x} + 150x^2 + 35$

¡Correcto! Con

V = x·3x·h = 6 \Rightarrow h = 2/x^2

. Paredes a construir: dos laterales (

xh

cada una) y la frontal (

3xh

), total

5xh

C = 30·5xh + 50·3x^2 + 35 = \dfrac{300}{x} + 150x^2 + 35

Del volumen

V = x·3x·h = 6

se despeja

h = 2/x^2

. Se construyen dos paredes laterales (

xh

cada una) y la frontal (

3xh

): área

5xh

. El techo mide

3x^2

. El coste es

C = 30·5xh + 50·3x^2 + 35 = \dfrac{300}{x} + 150x^2 + 35

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PAU CAT 2025 — Cuestión 4, Opción B.bDificultat 3/5

El coste de construcción del cobertizo es $C(x) = \dfrac{300}{x} + 150x^2 + 35$ , donde $x$ es la profundidad. ¿Qué profundidad $x$ minimiza el coste?

x = 1

x = \sqrt[3]{2}

x = 2

x = 0,5

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x = 1$ m

¡Correcto!

C^{\prime}(x) = -\dfrac{300}{x^2} + 300x = 0 \Rightarrow 300x^3 = 300 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1

Derivando,

C^{\prime}(x) = -\dfrac{300}{x^2} + 300x

. Igualando a cero:

300x = 300/x^2 \Rightarrow x^3 = 1 \Rightarrow x = 1

m. La segunda derivada es positiva, confirmando que es un mínimo.

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PAU CAT 2025 — Cuestión 4, Opción B.bDificultat 3/5

Para el cobertizo de coste mínimo, la profundidad óptima es $x = 1$ m (anchura $3x$ , altura $h = 2/x^2$ ). Calcule el coste mínimo total, sabiendo que $C(x) = \dfrac{300}{x} + 150x^2 + 35$ .