EBAU Castilla y LeónConvocatòria ordinaria

Matemáticas EBAU Castilla y León 2024

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
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Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Exercicis de l'examen10 exercicis

EBAU CyL 2024 — Ejercicio 1 (Álgebra)Dificultat 3/5

Discute, según el parámetro $a\in\mathbb{R}$ , el sistema homogéneo $\begin{cases}x+\tfrac{y}{2}+z=0\\ 2ax+y=0\\ 2x+y+az=0\end{cases}$ . ¿Para qué valores de $a$ el sistema es compatible indeterminado?

a\neq1

a\neq2

a=1

a=2

CSolo

a=1

DNingún valor (siempre incompatible)

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$a=1$ o $a=2$

Correcto. Multiplicando la 1ª ecuación por 2,

\det A=-2a^2+6a-4=0\Rightarrow a=1

a=2

. En esos casos

\operatorname{rg}A=2<3

: compatible indeterminado (infinitas soluciones).

Multiplicando la 1ª ecuación por 2, la matriz de coeficientes es

A=\begin{pmatrix}2&1&2\\2a&1&0\\2&1&a\end{pmatrix}

, con

\det A=-2a^2+6a-4=-2(a-1)(a-2)

. Si

a\neq1

a\neq2

\det A\neq0

: sistema compatible determinado (solución trivial). Si

a=1

a=2

\operatorname{rg}A=2<3

: compatible indeterminado (infinitas soluciones).

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EBAU CyL 2024 — Ejercicio 2 (Álgebra)Dificultat 3/5

Sea $M=\begin{pmatrix}1&1&2\\a&1&0\\1&1&a\end{pmatrix}$ . Para $a=0$ , calcula el determinante de la matriz $P$ que cumple $2PM=M^{3}$ .

-2

\dfrac12

2

-\dfrac12

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$\dfrac12$

Correcto. Con

a=0

\det M=-2

. De

2PM=M^3

\det(2PM)=\det(M^3)\Rightarrow 2^3\det P\cdot\det M=(\det M)^3\Rightarrow\det P=\dfrac{(\det M)^2}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac12

Para

a=0

\det M=-(0-1)(0-2)=-2

. Tomando determinantes en

2PM=M^3

\det(2PM)=2^3\det P\cdot\det M

\det(M^3)=(\det M)^3

. Igualando:

8\det P\cdot(-2)=(-2)^3=-8

, luego

\det P=\dfrac{-8}{-16}=\dfrac12

. (Equivalentemente

\det P=\dfrac{(\det M)^2}{8}=\dfrac48=\dfrac12

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EBAU CyL 2024 — Ejercicio 3 (Geometría)Dificultat 3/5

Halla el punto simétrico de $P(1,0,-1)$ respecto de la recta $r\equiv\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{2}$ . ¿Cuáles son sus coordenadas?

\left(\tfrac59,\,-\tfrac89,\,\tfrac19\right)

\left(\tfrac79,\,-\tfrac49,\,-\tfrac49\right)

(1,\,0,\,-1)

(1,\,2,\,2)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\left(\tfrac59,\,-\tfrac89,\,\tfrac19\right)$

Correcto. El pie de la perpendicular es

M\left(\tfrac79,-\tfrac49,-\tfrac49\right)

, y

P'=2M-P=\left(\tfrac59,-\tfrac89,\tfrac19\right)

La recta pasa por

Q(1,0,0)

con dirección

\vec{d}=(1,2,2)

. Con

\vec{QP}=(0,0,-1)

, el pie de la perpendicular tiene parámetro

t=\dfrac{\vec{QP}\cdot\vec{d}}{|\vec{d}|^2}=\dfrac{-2}{9}

, luego

M=Q+t\vec{d}=\left(\tfrac79,-\tfrac49,-\tfrac49\right)

. El simétrico es

P'=2M-P=\left(\tfrac{14}{9}-1,\,-\tfrac89,\,-\tfrac89+1\right)=\left(\tfrac59,-\tfrac89,\tfrac19\right)

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EBAU CyL 2024 — Ejercicio 4 (Geometría)Dificultat 3/5

Dadas $r_1\equiv\begin{cases}x=1\\y=kt\\z=k-2t\end{cases}$ (con $t\in\mathbb{R}$ ) y $r_2\equiv\begin{cases}x+2y+2z=-1\\x+y+z=k\end{cases}$ , ¿para qué valor de $k$ son paralelas?

k=0

k=1

k=2

k=-2

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$k=2$

Correcto.

\vec{d_1}=(0,k,-2)

\vec{d_2}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=(0,1,-1)

. Para que sean paralelas,

(0,k,-2)=\lambda(0,1,-1)\Rightarrow\lambda=2,\ k=2

El director de

r_1

\vec{d_1}=(0,k,-2)

. El de

r_2

\vec{d_2}=\vec{n_1}\times\vec{n_2}=(1,2,2)\times(1,1,1)=(0,1,-1)

. Para que sean paralelas,

\vec{d_1}=\lambda\vec{d_2}

: de la tercera componente

-2=-\lambda\Rightarrow\lambda=2

, y de la segunda

k=\lambda=2

. Por tanto

k=2

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EBAU CyL 2024 — Ejercicio 5 (Análisis)Dificultat 3/5

Probar que la ecuación $e^{-x}\,(x-1)=1$ no tiene solución en $\mathbb{R}$ . ¿Cuál es el argumento correcto?

APorque

g(x)=e^{-x}(x-1)

es siempre negativa

BPorque el máximo de

g(x)=e^{-x}(x-1)

vale

e^{-2}\approx0{,}135<1

CPorque

g(x)\to+\infty

y nunca pasa por 1

DPorque

g

es creciente y no tiene máximo

Veure solució

Resposta correcta — opció B

Porque el máximo de $g(x)=e^{-x}(x-1)$ vale $e^{-2}\approx0{,}135<1$

Correcto.

g(x)=e^{-x}(x-1)

tiene su máximo absoluto en

x=2

(donde

g'(x)=e^{-x}(2-x)=0

), y

g(2)=e^{-2}\approx0{,}135<1

. Como el máximo es menor que 1,

g(x)=1

no tiene solución.

Sea

g(x)=e^{-x}(x-1)

. Su derivada

g'(x)=e^{-x}(2-x)

se anula en

x=2

, donde hay un máximo absoluto:

g(2)=e^{-2}\approx0{,}135

. Como

\max g=e^{-2}<1

, la ecuación

g(x)=1

no tiene solución (la recta

y=1

queda por encima de toda la gráfica de

g

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EBAU CyL 2024 — Ejercicio 6 (Análisis)Dificultat 3/5

Sea $f(x)=x^3+Ax^2+Bx+C$ . Determina $A$ , $B$ y $C$ sabiendo que $f(-1)=0$ , que $f$ tiene un extremo relativo en $x=0$ y que la recta tangente en $x=-1$ es paralela a $y+3x=0$ . ¿Cuáles son los valores?

A=0,\ B=3,\ C=-2

A=3,\ B=3,\ C=0

A=3,\ B=0,\ C=-2

A=-3,\ B=0,\ C=2

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$A=3,\ B=0,\ C=-2$

Correcto. Extremo en

x=0

f'(0)=B=0

. Tangente en

x=-1

con pendiente

-3

f'(-1)=3-2A=-3\Rightarrow A=3

. Y

f(-1)=-1+A-B+C=0\Rightarrow C=-2

f'(x)=3x^2+2Ax+B

. Extremo en

x=0

f'(0)=B=0

. La tangente en

x=-1

es paralela a

y=-3x

(pendiente

-3

f'(-1)=3-2A=-3\Rightarrow A=3

. Por último,

f(-1)=-1+A-B+C=-1+3-0+C=0\Rightarrow C=-2

. Solución:

A=3

B=0

C=-2

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EBAU CyL 2024 — Ejercicio 8 (a) (Análisis)Dificultat 3/5

Calcula $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{x\,(e^{x}-1)}{\cos x-1}$ .

0

1

2

-2

Veure solució

Resposta correcta — opció D

$-2$

Correcto.

x(e^x-1)\approx x\cdot x=x^2

\cos x-1\approx-\tfrac{x^2}{2}

, así que el límite es

\dfrac{x^2}{-x^2/2}=-2

Indeterminación

\tfrac00

. Usando infinitésimos equivalentes en

x\to0

e^x-1\sim x

(luego

x(e^x-1)\sim x^2

) y

\cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}

. Por tanto

\lim_{x\to0}\dfrac{x(e^x-1)}{\cos x-1}=\dfrac{x^2}{-x^2/2}=-2

. (El mismo resultado se obtiene aplicando L'Hôpital dos veces.)

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EBAU CyL 2024 — Ejercicio 8 (b) (Análisis)Dificultat 3/5

Calcula la integral definida $\displaystyle\int_0^2 e^{-x}\,(x-1)\,dx$ .

-2e^{-2}\approx-0{,}271

2e^{-2}\approx0{,}271

1-e^{-2}\approx0{,}865

-2e^{2}\approx-14{,}8

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$-2e^{-2}\approx-0{,}271$

Correcto. Una primitiva es

-x\,e^{-x}

(comprueba derivando), así que

\int_0^2 e^{-x}(x-1)\,dx=\left[-x\,e^{-x}\right]_0^2=-2e^{-2}\approx-0{,}271

Integrando por partes (

u=x-1

dv=e^{-x}dx

v=-e^{-x}

\int e^{-x}(x-1)\,dx=-e^{-x}(x-1)-e^{-x}=-x\,e^{-x}+C

. Evaluando entre 0 y 2:

\left[-x\,e^{-x}\right]_0^2=-2e^{-2}-0=-2e^{-2}\approx-0{,}271

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EBAU CyL 2024 — Ejercicio 9 (Probabilidad)Dificultat 3/5

En un taller, el 48 % de los vehículos son coches (las tres cuartas partes necesitan reparación), el 28 % motocicletas (la mitad necesita reparación) y el 24 % furgonetas (un tercio necesita reparación). ¿Cuál es la probabilidad de que un vehículo elegido al azar necesite reparación, $P(R)$ ?

0{,}50

0{,}58

0{,}36

0{,}42

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$0{,}58$

Correcto. Por probabilidad total:

P(R)=0{,}48\cdot\tfrac34+0{,}28\cdot\tfrac12+0{,}24\cdot\tfrac13=0{,}36+0{,}14+0{,}08=0{,}58

Por el teorema de la probabilidad total:

P(R)=P(C)P(R\mid C)+P(M)P(R\mid M)+P(F)P(R\mid F)=0{,}48\cdot\tfrac34+0{,}28\cdot\tfrac12+0{,}24\cdot\tfrac13=0{,}36+0{,}14+0{,}08=0{,}58

. (Con esto,

P(C\mid R)=\tfrac{0{,}36}{0{,}58}\approx0{,}62

y, como

P(C)P(R)=0{,}278\neq0{,}36

, los sucesos

C

R

no son independientes.)

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EBAU CyL 2024 — Ejercicio 10 (a) (Probabilidad)Dificultat 3/5

El tiempo diario de uso del móvil en Astorga sigue una distribución normal de media $160$ minutos y desviación típica $30$ minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que un habitante use el móvil menos de dos horas (120 minutos)?

\approx0{,}0918

\approx0{,}9082

\approx0{,}50

\approx0{,}1587

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\approx0{,}0918$

Correcto.

z=\dfrac{120-160}{30}\approx-1{,}33

P(X<120)=P(Z<-1{,}33)=1-\Phi(1{,}33)=1-0{,}9082=0{,}0918

(≈ 9,18 %).

Dos horas son 120 minutos. Tipificando:

z=\dfrac{120-160}{30}\approx-1{,}33

. Por la simetría de la normal,

P(X<120)=P(Z<-1{,}33)=1-\Phi(1{,}33)=1-0{,}9082=0{,}0918

, un

\approx9{,}18\%

. (En el apartado b,

3

50

min

=230

min da

z=2{,}33

P(X>230)=1-0{,}9901\approx0{,}99\%

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