EvAU AragónConvocatòria ordinaria

Matemáticas EvAU Aragón 2023

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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9 exercicis a EureQuiz

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Exercicis de l'examen9 exercicis

EvAU ARA 2023 — Pregunta 1 (b)Dificultat 3/5

Sea $f(x)=a\,x-\dfrac{\operatorname{sen}x}{x}+2$ si $x\neq0$ y $f(0)=2$ . ¿Qué valor de $a$ hace que $f$ tenga un extremo relativo en $x=-\dfrac{\pi}{2}$ ?

a=0

a=\dfrac{4}{\pi}

a=\dfrac{4}{\pi^2}

a=1

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$a=\dfrac{4}{\pi^2}$

Correcto.

f'(x)=a-\dfrac{x\cos x-\operatorname{sen}x}{x^2}

. En

x=-\tfrac{\pi}{2}

\cos=0

\operatorname{sen}=-1

, luego

f'=a-\dfrac{1}{\pi^2/4}=a-\dfrac{4}{\pi^2}=0\Rightarrow a=\dfrac{4}{\pi^2}

f'(x)=a-\dfrac{x\cos x-\operatorname{sen}x}{x^2}

. En

x=-\tfrac{\pi}{2}

\cos\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=0

\operatorname{sen}\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=-1

, así que

f'\left(-\tfrac{\pi}{2}\right)=a-\dfrac{0-(-1)}{\pi^2/4}=a-\dfrac{4}{\pi^2}

. Igualando a 0:

a=\dfrac{4}{\pi^2}\approx0{,}405

. Como la derivada cambia de signo, es un extremo relativo.

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 2Dificultat 3/5

Calcula $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left[\dfrac{(x+1)^2}{x^2+3x+1}\right]^{\ln x}$ .

1

e

0

+\infty

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$1$

Correcto. Es una indeterminación

1^{\infty}

\ln L=\lim \ln x\cdot\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2+3x+1}\approx\ln x\cdot\dfrac{-x}{x^2+3x+1}\to0

, luego

L=e^{0}=1

Indeterminación

1^{\infty}

. Tomando logaritmos:

\ln L=\lim_{x\to+\infty}\ln x\cdot\ln\dfrac{(x+1)^2}{x^2+3x+1}

. Como

\dfrac{(x+1)^2}{x^2+3x+1}=1+\dfrac{-x}{x^2+3x+1}

\ln(1+u)\approx u

, queda

\ln L\approx\ln x\cdot\dfrac{-x}{x^2+3x+1}\approx\dfrac{-\ln x}{x}\to0

. Por tanto

L=e^{0}=1

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 3Dificultat 3/5

Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f(x)=-x^2+4x$ y la recta de pendiente $\tfrac12$ que corta a $f$ en $x=\tfrac72$ (dicha recta es $y=\tfrac12x$ ). ¿Cuál es el área?

\dfrac{49}{6}\approx8{,}17

\dfrac{125}{24}\approx5{,}21

\dfrac{343}{48}\approx7{,}15

7

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$\dfrac{343}{48}\approx7{,}15$

Correcto. Los cortes son

-x^2+4x=\tfrac12x\Rightarrow x=0

x=\tfrac72

. El área es

\int_0^{7/2}\left(-x^2+\tfrac72x\right)dx=\dfrac{343}{48}\approx7{,}15

La recta de pendiente

\tfrac12

que corta a

f

x=\tfrac72

pasa por

\left(\tfrac72,\tfrac74\right)

, luego es

y=\tfrac12x

. Cortes:

-x^2+4x=\tfrac12x\Rightarrow -x^2+\tfrac72x=0\Rightarrow x=0,\ x=\tfrac72

. En ese intervalo la parábola está por encima, así que el área es

\int_0^{7/2}\left(-x^2+\tfrac72x\right)dx=\left[-\tfrac{x^3}{3}+\tfrac74x^2\right]_0^{7/2}=\dfrac{343}{48}\approx7{,}15

u².

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 4 (a)Dificultat 3/5

Dada $f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}$ , ¿cuál es su dominio de definición?

[-1,\,2]

(-\infty,\,-1)\cup(2,\,+\infty)

[-1,\,2]

excluido el resto

\mathbb{R}

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$(-\infty,\,-1)\cup(2,\,+\infty)$

Correcto. El radicando

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

debe ser

>0

(estricto, va en el denominador):

x<-1

x>2

El denominador

\sqrt{x^2-x-2}

exige

x^2-x-2>0

(estricto, por estar en el denominador). Como

x^2-x-2=(x-2)(x+1)

, el producto es positivo para

x<-1

x>2

. Dominio:

(-\infty,-1)\cup(2,+\infty)

. (Las asíntotas horizontales son

y=2

cuando

x\to+\infty

y=-2

cuando

x\to-\infty

, con asíntotas verticales en

x=-1

x=2

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 4 (b)Dificultat 3/5

Dada $f(x)=\dfrac{2x-1}{\sqrt{x^2-x-2}}$ , ¿qué asíntotas horizontales tiene?

ASolo

y=2

BSolo

y=0

y=2

(por la derecha) e

y=-2

(por la izquierda)

DNo tiene asíntotas horizontales

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$y=2$ (por la derecha) e $y=-2$ (por la izquierda)

Correcto. Para

x\to+\infty

\sqrt{x^2-x-2}\approx x

f\to2

; para

x\to-\infty

\sqrt{x^2-x-2}\approx -x

(pues

\sqrt{x^2}=|x|

) y

f\to-2

. Asíntotas

y=2

y=-2

Como

\sqrt{x^2-x-2}\sim|x|

en el infinito: para

x\to+\infty

f(x)\sim\dfrac{2x}{x}=2

(asíntota

y=2

); para

x\to-\infty

f(x)\sim\dfrac{2x}{-x}=-2

(asíntota

y=-2

). Además hay asíntotas verticales en

x=-1

x=2

(bordes del dominio donde el denominador tiende a 0).

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 5 (a)Dificultat 3/5

Sean $A=\begin{pmatrix}-2&1\\2&0\\1&-1\end{pmatrix}$ , $B=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\\-2&0\end{pmatrix}$ y $D=A\cdot B^{T}-2I$ (con $I$ la identidad de orden 3). ¿Tiene $D$ inversa?

ASí,

\det D=-4\neq0

BNo,

\det D=0

CNo, porque el producto no está definido

DNo, porque

D

no es simétrica

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Sí, $\det D=-4\neq0$

Correcto.

A\cdot B^{T}=\begin{pmatrix}-2&-1&4\\2&2&-4\\1&0&-2\end{pmatrix}

, luego

D=A B^{T}-2I=\begin{pmatrix}-4&-1&4\\2&0&-4\\1&0&-4\end{pmatrix}

\det D=-4\neq0

D

es invertible.

B^{T}=\begin{pmatrix}1&1&-2\\0&1&0\end{pmatrix}

. Entonces

A\cdot B^{T}=\begin{pmatrix}-2&-1&4\\2&2&-4\\1&0&-2\end{pmatrix}

D=A B^{T}-2I=\begin{pmatrix}-4&-1&4\\2&0&-4\\1&0&-4\end{pmatrix}

. Su determinante vale

\det D=-4\neq0

, por lo que

D

es invertible.

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 7 (a)Dificultat 3/5

Sea $A=\begin{pmatrix}\tfrac12&1\\-1&-2\end{pmatrix}$ . Calcula $A^{n}$ para $n\in\mathbb{N}$ . ¿Cuál es la expresión correcta?

A^{n}=A

A^{n}=\left(-\tfrac32\right)^{n-1}A

A^{n}=0

para

n\ge2

A^{n}=\left(-\tfrac32\right)^{n}A

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$A^{n}=\left(-\tfrac32\right)^{n-1}A$

Correcto. Como

\det A=0

\operatorname{tr}A=-\tfrac32

, por Cayley-Hamilton

A^2=-\tfrac32A

. Por inducción,

A^{n}=\left(-\tfrac32\right)^{n-1}A

\det A=\tfrac12\cdot(-2)-1\cdot(-1)=-1+1=0

\operatorname{tr}A=\tfrac12-2=-\tfrac32

. Por Cayley-Hamilton

A^2-(\operatorname{tr}A)A+(\det A)I=0\Rightarrow A^2=-\tfrac32A

. Por inducción

A^{n}=\left(-\tfrac32\right)^{n-1}A

para todo

n\ge1

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 8Dificultat 3/5

El plano $\pi\equiv 2x+by-2z+4=0$ (con $b\neq0$ ) corta a los ejes coordenados en tres puntos $A$ , $B$ y $C$ . ¿Para qué valores de $b$ el área del triángulo $ABC$ es $6$ u²?

b=2

BSolo

b=1

b=\pm2

b=\pm1

Veure solució

Resposta correcta — opció D

$b=\pm1$

Correcto. Cortes:

A(-2,0,0)

B\left(0,-\tfrac{4}{b},0\right)

C(0,0,2)

. El área

\tfrac12|\vec{AB}\times\vec{AC}|=6

conduce a

b=\pm1

Cortes con los ejes:

A(-2,0,0)

(en

OX

B\left(0,-\tfrac{4}{b},0\right)

(en

OY

C(0,0,2)

(en

OZ

). El área del triángulo es

\tfrac12\left|\vec{AB}\times\vec{AC}\right|

. Al imponerla igual a 6 se obtiene una ecuación par en

b

cuyas soluciones son

b=1

b=-1

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EvAU ARA 2023 — Pregunta 10 (a)Dificultat 3/5

El contenido en sulfitos del vino de una bodega sigue una distribución normal de media $150$ mg/l y desviación típica $30$ mg/l. Se desechan los vinos con más de $200$ mg/l. ¿Cuál es la probabilidad de que un vino se deseche?

\approx0{,}0475

\approx0{,}9525

\approx0{,}1587

\approx0{,}50

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\approx0{,}0475$

Correcto.

z=\dfrac{200-150}{30}\approx1{,}67

P(X>200)=P(Z>1{,}67)=1-\Phi(1{,}67)=1-0{,}9525=0{,}0475

(≈ 4,75 %).

Tipificando:

z=\dfrac{200-150}{30}=\dfrac{50}{30}\approx1{,}67

. Se desecha si

X>200

P(X>200)=P(Z>1{,}67)=1-\Phi(1{,}67)=1-0{,}9525=0{,}0475

, es decir un

\approx4{,}75\%

de los vinos. (En el apartado b,

P(110<X<150)=\Phi(1{,}33)-0{,}5=0{,}4082

, un

\approx40{,}82\%

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