EvAU AndalucíaConvocatòria ordinaria

Matemáticas EvAU Andalucía 2023

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Exercicis de l'examen8 exercicis

PEvAU AND 2023 — A.1Dificultat 3/5

Sea $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $f(x)=\dfrac{1}{e^x+e^{-x}}$ . ¿En qué abscisa alcanza $f$ su máximo absoluto y cuánto vale?

AEn

x=0

, valor

\dfrac{1}{2}

BEn

x=1

, valor

\dfrac{1}{e+e^{-1}}

CNo tiene máximo (crece sin límite)

DEn

x=0

, valor

1

Veure solució

Resposta correcta — opció A

En $x=0$ , valor $\dfrac{1}{2}$

¡Correcto!

f(x)=\frac{1}{e^x+e^{-x}}

es máxima cuando el denominador

e^x+e^{-x}

es mínimo. Por AM-GM (o derivando), el mínimo del denominador es

2

x=0

. Así el máximo es

f(0)=\frac{1}{2}

f(x)=\frac{1}{e^x+e^{-x}}

es máxima donde el denominador

g(x)=e^x+e^{-x}

es mínimo.

g'(x)=e^x-e^{-x}=0\Rightarrow x=0

, y

g(0)=2

(mínimo, pues

g''(0)>0

). Así el máximo absoluto de

f

f(0)=\frac12

. Cuando

x\to\pm\infty

f\to 0

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PEvAU AND 2023 — A.2Dificultat 3/5

Sea $f:[-2,2]\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^3-2x+5$ . ¿En qué abscisas la pendiente de la recta tangente coincide con la de la recta que pasa por $(-2,f(-2))$ y $(2,f(2))$ ?

x = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}

x = 0

x = \pm 1

x = \pm 2

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}}$

¡Correcto! La pendiente de la cuerda es

\frac{f(2)-f(-2)}{4}=\frac{9-1}{4}=2

. Como

f'(x)=3x^2-2

, igualando

3x^2-2=2\Rightarrow x^2=\frac{4}{3}\Rightarrow x=\pm\frac{2}{\sqrt{3}}

Pendiente de la cuerda:

\frac{f(2)-f(-2)}{4}=\frac{9-1}{4}=2

. Por el teorema del valor medio existe

c

con

f'(c)=2

. Como

f'(x)=3x^2-2

3x^2-2=2\Rightarrow x^2=\frac43\Rightarrow x=\pm\frac{2}{\sqrt3}\approx\pm 1{,}15

, ambos en

[-2,2]

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PEvAU AND 2023 — A.2.bDificultat 3/5

Para $f(x)=x^3-2x+5$ , ¿cuál es la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en su punto de inflexión?

y = -2x + 5

y = -2x - 5

y = 5

y = 2x + 5

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$y = -2x + 5$

¡Correcto!

f''(x)=6x=0\Rightarrow x=0

(punto de inflexión).

f(0)=5

f'(0)=-2

. Tangente:

y-5=-2(x-0)\Rightarrow y=-2x+5

Punto de inflexión:

f''(x)=6x=0\Rightarrow x=0

, con

f(0)=5

. La pendiente de la tangente ahí es

f'(0)=-2

. Recta tangente:

y-5=-2(x-0)\Rightarrow y=-2x+5

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PEvAU AND 2023 — A.4Dificultat 3/5

Sea $F:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ definida por $F(x)=\displaystyle\int_0^x \operatorname{sen}(t^2)\,dt$ . Calcula $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{xF(x)}{\operatorname{sen}(x^2)}$ .

0

\dfrac{1}{3}

1

+\infty

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$0$

¡Correcto! Cerca de

0

F(x)=\int_0^x \operatorname{sen}(t^2)\,dt \approx \int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}

, y

\operatorname{sen}(x^2)\approx x^2

. Así

\frac{xF(x)}{\operatorname{sen}(x^2)}\approx \frac{x\cdot \frac{x^3}{3}}{x^2}=\frac{x^2}{3}\to 0

Cerca de

0

F(x)=\int_0^x \operatorname{sen}(t^2)\,dt\approx \int_0^x t^2\,dt=\frac{x^3}{3}

(orden

x^3

), y

\operatorname{sen}(x^2)\approx x^2

. Entonces

\frac{xF(x)}{\operatorname{sen}(x^2)}\approx \frac{x\cdot\frac{x^3}{3}}{x^2}=\frac{x^2}{3}\xrightarrow{x\to 0}0

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PEvAU AND 2023 — B.5Dificultat 3/5

Una marca vende coches blancos ( $b$ ), negros ( $n$ ) y rojos ( $r$ ). Datos: $0{,}6b+0{,}5n=0{,}3(b+n+r)$ ; $0{,}2b+0{,}6n+0{,}6r=0{,}5(b+n+r)$ ; $n=b+100$ . ¿Cuántos coches de cada color se vendieron?

b=100

n=200

r=300

b=200

n=100

r=300

b=100

n=200

r=100

b=150

n=250

r=200

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$b=100$ , $n=200$ , $r=300$

¡Correcto! Resolviendo el sistema lineal:

b=100

n=200

r=300

(total

600

). Verificación:

0{,}6\cdot100+0{,}5\cdot200=160=0{,}3\cdot 600

✓.

Sistema:

0{,}6b+0{,}5n=0{,}3(b+n+r)

0{,}2b+0{,}6n+0{,}6r=0{,}5(b+n+r)

n=b+100

. Simplificando las dos primeras y sustituyendo

n=b+100

, se obtiene

b=100

n=200

r=300

(total

600

coches).

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PEvAU AND 2023 — B.6.aDificultat 3/5

Sea $A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & m \\ m & 0 & 0 \\ 0 & m & 0 \end{pmatrix}$ . ¿Para qué valores de $m$ existe la matriz inversa $A^{-1}$ ?

APara todo

m \neq 0

BSolo para

m = 1

CPara todo

m

DNo existe para ningún

m

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Para todo $m \neq 0$

¡Correcto!

\det(A)=m^3

(matriz de permutación escalada). La inversa existe si

\det(A)\neq 0

, es decir para todo

m\neq 0

La matriz

A

es una permutación cíclica escalada por

m

. Su determinante es

\det(A)=m^3

. La inversa existe si y solo si

\det(A)\neq 0

, es decir, para todo

m\neq 0

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PEvAU AND 2023 — B.7Dificultat 3/5

El plano perpendicular al segmento de extremos $P(0,3,8)$ y $Q(2,1,6)$ que pasa por su punto medio. ¿Cuál es la ecuación de ese plano mediador?

x - y - z + 7 = 0

x - y - z = 0

x + y + z - 10 = 0

2x - 2y - 2z = 0

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x - y - z + 7 = 0$

¡Correcto! El vector

\vec{PQ}=(2,-2,-2)

es normal al plano. El punto medio es

M(1,2,7)

. Plano:

2(x-1)-2(y-2)-2(z-7)=0\Rightarrow x-y-z+7=0

Vector normal

\vec{PQ}=(2,-2,-2)

(proporcional a

(1,-1,-1)

). Punto medio

M=\frac{P+Q}{2}=(1,2,7)

. Plano mediador:

1(x-1)-1(y-2)-1(z-7)=0\Rightarrow x-y-z+7=0

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PEvAU AND 2023 — B.8.bDificultat 3/5

Considera $A(-1,1,3)$ , $B(2,1,1)$ y $C(0,1,-1)$ . ¿Cuál es el área del triángulo de vértices $A$ , $B$ y $C$ ?

5

10

\dfrac{5}{2}

\sqrt{5}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$5$

¡Correcto!

\vec{AB}=(3,0,-2)

\vec{AC}=(1,0,-4)

\vec{AB}\times\vec{AC}=(0,10,0)

, módulo

10

. Área

=\frac{1}{2}\cdot 10=5

\vec{AB}=(3,0,-2)

\vec{AC}=(1,0,-4)

. Producto vectorial

\vec{AB}\times\vec{AC}=(0,10,0)

, de módulo

10

. Área del triángulo

=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac{1}{2}\cdot 10=5

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