EvAU AndalucíaConvocatòria ordinaria

Matemáticas EvAU Andalucía 2022

Matemáticas — 2.º Bachillerato (Ciencias) — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Elige 4 de 6 preguntas

Blocs temàtics

Álgebra lineal
Análisis matemático
Geometría analítica
Estadística y probabilidad

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Exercicis de l'examen8 exercicis

PEvAU AND 2022 — A.1Dificultat 3/5

Sea $f$ continua definida por $f(x)=\frac{1}{x}$ si $x<-1$ , $f(x)=ax+b$ si $-1\le x<1$ , y $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$ si $x\ge 1$ . ¿Qué valores de $a$ y $b$ hacen $f$ continua en $x=-1$ y $x=1$ ?

a=\dfrac{3}{4}

b=-\dfrac{1}{4}

a=1

b=0

a=\dfrac{1}{2}

b=0

a=-\dfrac{3}{4}

b=\dfrac{1}{4}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$a=\dfrac{3}{4}$ , $b=-\dfrac{1}{4}$

¡Correcto! Continuidad en

x=-1

\frac{1}{-1}=-a+b\Rightarrow -a+b=-1

. Continuidad en

x=1

a+b=\frac{1^2}{1+1}=\frac{1}{2}

. Resolviendo:

a=\frac{3}{4}

b=-\frac{1}{4}

Continuidad en

x=-1

f(-1^-)=\frac{1}{-1}=-1

debe igualar

a(-1)+b

, luego

-a+b=-1

. Continuidad en

x=1

a(1)+b=\frac{1^2}{1+1}=\frac12

, luego

a+b=\frac12

. Sumando:

2b=-\frac12\Rightarrow b=-\frac14

; restando:

2a=\frac32\Rightarrow a=\frac34

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PEvAU AND 2022 — A.2Dificultat 3/5

De entre los rectángulos con lados paralelos a los ejes inscritos en la región limitada por $f(x)=4-\frac{x^2}{3}$ y $g(x)=\frac{x^2}{6}-2$ (simétricos respecto del eje $Y$ ), ¿en qué abscisa $x>0$ se alcanza el área máxima?

x = 2

x = \sqrt{2}

x = 3

x = \sqrt{6}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$x = 2$

¡Correcto! La altura es

f(x)-g(x)=6-\frac{x^2}{2}

y la base

2x

. Área

S(x)=2x\left(6-\frac{x^2}{2}\right)=12x-x^3

S'(x)=12-3x^2=0\Rightarrow x=2

Altura

=f(x)-g(x)=6-\frac{x^2}{2}

; base

=2x

(simetría). Área

S(x)=2x\left(6-\frac{x^2}{2}\right)=12x-x^3

. Máximo:

S'(x)=12-3x^2=0\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=2

(

S''(2)=-12<0

, máximo).

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PEvAU AND 2022 — A.3Dificultat 3/5

Sea $f(x)=2x+4$ si $x<0$ y $f(x)=(x-2)^2$ si $x\ge 0$ . ¿Cuál es el área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y el eje de abscisas?

\dfrac{20}{3}

4

\dfrac{8}{3}

\dfrac{28}{3}

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$\dfrac{20}{3}$

¡Correcto! Cortes con el eje X:

2x+4=0\Rightarrow x=-2

;

(x-2)^2=0\Rightarrow x=2

. Área

=\int_{-2}^{0}(2x+4)\,dx+\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx = 4 + \frac{8}{3}=\frac{20}{3}

La recta

2x+4

corta el eje en

x=-2

y la parábola

(x-2)^2

lo toca en

x=2

. Área

=\int_{-2}^{0}(2x+4)\,dx+\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx=4+\frac{8}{3}=\frac{20}{3}

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PEvAU AND 2022 — A.4Dificultat 3/5

Sea $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-2x+1}$ para $x\neq 1$ . La descomposición da $f(x)=x+2+\dfrac{3x-2}{(x-1)^2}$ . Halla la primitiva $F$ de $f$ que pasa por el punto $(2,6)$ . ¿Cuánto vale la constante de integración $C$ ?

C = 1

C = 0

C = -1

C = 6

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$C = 1$

¡Correcto!

F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C

. En

(2,6)

2+4+0-1+C=6\Rightarrow C=1

Integrando

f(x)=x+2+\frac{3}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2}

se obtiene

F(x)=\frac{x^2}{2}+2x+3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C

. En

(2,6)

2+4+3\ln 1-1+C=5+C=6\Rightarrow C=1

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PEvAU AND 2022 — B.5Dificultat 3/5

Considera el sistema $\begin{cases} x-y+mz=-3 \\ -mx+3y-z=1 \\ x-4y+mz=-6 \end{cases}$ . El determinante de la matriz de coeficientes es $(m-2)(m+...)$ y se anula en $m=2$ y $m=-1$ . ¿Para qué valor de $m$ el sistema es compatible determinado entre los siguientes?

m = 0

m = 2

m = -1

DNingún valor da solución única

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$m = 0$

¡Correcto! El determinante se anula solo en

m=2

m=-1

. Para

m=0

, el determinante es no nulo, así que el sistema tiene solución única (compatible determinado).

El determinante de la matriz de coeficientes se anula en

m=2

m=-1

. Para cualquier otro valor (por ejemplo

m=0

), el determinante es no nulo y, por el teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es compatible determinado (solución única).

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PEvAU AND 2022 — B.6Dificultat 3/5

Sea $A=\begin{pmatrix} m & m & m \\ m & m & 1 \\ m & 1 & m \end{pmatrix}$ con $m\neq 0$ . ¿Para qué valores de $m$ la matriz $A$ tiene inversa?

m \neq 0

m \neq 1

BCualquier

m \neq 0

CSolo

m = 1

DPara todo

m

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$m \neq 0$ y $m \neq 1$

¡Correcto!

\det(A)=-m(m-1)^2

(desarrollando). La inversa existe si

\det(A)\neq 0

, es decir cuando

m\neq 0

m\neq 1

Desarrollando,

\det(A)=-m(m-1)^2

, que se anula en

m=0

m=1

. La inversa existe si

\det(A)\neq 0

. Dado que el enunciado ya impone

m\neq 0

, la condición es

m\neq 0

m\neq 1

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PEvAU AND 2022 — B.7.aDificultat 3/5

Dados $\vec{u}=(-1,2,3)$ y $\vec{v}=(2,0,-1)$ , ¿qué valores de $a$ y $b$ hacen que $\vec{w}=(1,a,b)$ sea ortogonal a $\vec{u}$ y a $\vec{v}$ ?

a=-\dfrac{5}{2}

b=2

a=\dfrac{5}{2}

b=2

a=-\dfrac{5}{2}

b=-2

a=0

b=2

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$a=-\dfrac{5}{2}$ , $b=2$

¡Correcto!

\vec{w}\cdot\vec{v}=2-b=0\Rightarrow b=2

\vec{w}\cdot\vec{u}=-1+2a+3b=0\Rightarrow -1+2a+6=0\Rightarrow a=-\frac{5}{2}

Ortogonalidad con

\vec{v}

\vec{w}\cdot\vec{v}=2-b=0\Rightarrow b=2

. Ortogonalidad con

\vec{u}

\vec{w}\cdot\vec{u}=-1+2a+3b=-1+2a+6=0\Rightarrow 2a=-5\Rightarrow a=-\frac52

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PEvAU AND 2022 — B.8Dificultat 3/5

Sea la recta $r:\ x-2=\dfrac{y}{-1}=\dfrac{z-1}{2}$ y la recta $s$ por $P(1,2,3)$ con director $\vec{v}=(1+a,-a,3a)$ . ¿Qué valor de $a$ hace que $r$ y $s$ sean perpendiculares?

a = -\dfrac{1}{8}

a = \dfrac{1}{8}

a = 0

a = -1

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$a = -\dfrac{1}{8}$

¡Correcto! Director de

r

\vec{u}=(1,-1,2)

. Perpendicularidad:

\vec{u}\cdot\vec{v}=(1+a)+a+6a=1+8a=0\Rightarrow a=-\frac{1}{8}

Director de

r

\vec{u}=(1,-1,2)

. Perpendicularidad exige

\vec{u}\cdot\vec{v}=0

1(1+a)+(-1)(-a)+2(3a)=1+a+a+6a=1+8a=0\Rightarrow a=-\frac{1}{8}

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