EvAU MadridConvocatòria ordinaria

Matemáticas CCSS EvAU Madrid 2024

Matemàtiques aplicades a les ciències socials — 2.º Bachillerato — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Cuatro ejercicios obligatorios de 2,5 puntos (opción A o B en el último)

Blocs temàtics

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

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10 exercicis a EureQuiz

Practica aquest examen amb variants il·limitades. Cada intent genera dades noves per aprendre realment el mètode.

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Exercicis de l'examen10 exercicis

EvAU MAD 2024 — Pregunta 1Dificultat 3/5

Se considera la matriz $A=\begin{pmatrix}1-a & -2 & -1\\ 1 & a & 1\\ 2 & -2 & a\end{pmatrix}$ . ¿Para qué valores del parámetro $a\in\mathbb{R}$ existe la matriz inversa $A^{-1}$ ?

APara todo

a\neq 2

BPara

a=0

a=2

únicamente

CPara todo

a\neq -2

a\neq 0

DPara todo

a\neq 0

a\neq 2

Veure solució

Resposta correcta — opció D

Para todo $a\neq 0$ y $a\neq 2$

Correcto.

\det A=(1-a)(a^2+2)+2(a-2)-(-2-2a)=-a^2+2a=-a(a-2)

, que se anula en

a=0

a=2

. Existe

A^{-1}

para todo

a\neq0

a\neq2

\det A=(1-a)\big[a\cdot a-1\cdot(-2)\big]-(-2)\big[1\cdot a-1\cdot2\big]+(-1)\big[1\cdot(-2)-a\cdot2\big]

. Simplificando se obtiene

\det A=-a^2+2a=-a(a-2)

. La matriz es invertible si y solo si

\det A\neq0

, es decir, para todo

a\neq0

a\neq2

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EvAU MAD 2024 — Pregunta 2Dificultat 3/5

Sea $f(x)$ una función cuya derivada es $f'(x)=x^2+x-2$ y que pasa por el punto $(0,2)$ . Obtén la expresión de $f(x)$ .

f(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x+2

f(x)=2x+1

f(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x

f(x)=\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{x^3}{2}-2x+2

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$f(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x+2$

Correcto.

f(x)=\int(x^2+x-2)\,dx=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x+C

. Como

f(0)=2

C=2

. Luego

f(x)=\dfrac{x^3}{3}+\dfrac{x^2}{2}-2x+2

Integrando

f'(x)=x^2+x-2

se obtiene

f(x)=\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^2}{2}-2x+C

. La condición

f(0)=2

C=2

, por lo que

f(x)=\tfrac{x^3}{3}+\tfrac{x^2}{2}-2x+2

. (Sus extremos están en

x=-2

, máximo, y

x=1

, mínimo, raíces de

f'

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EvAU MAD 2024 — Pregunta 3Dificultat 3/5

Se considera $f(x)=\begin{cases}x^2-x+e^2 & \text{si }x<1\\ a\,e^{2x} & \text{si }x\ge1\end{cases}$ . Halla el valor del parámetro $a\in\mathbb{R}$ para que $f(x)$ sea continua en todo su dominio.

a=e^2

a=1

a=0

a=e

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$a=1$

Correcto. Continuidad en

x=1

\lim_{x\to1^-}f=1-1+e^2=e^2

f(1)=a e^{2}

. Igualando

a e^2=e^2\Rightarrow a=1

Para continuidad en

x=1

se iguala

\lim_{x\to1^-}(x^2-x+e^2)=1-1+e^2=e^2

con

f(1)=a e^{2}

. De

a e^2=e^2

resulta

a=1

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EvAU MAD 2024 — Pregunta 4Dificultat 3/5

Se considera la función $f(x)=\dfrac{x-2}{x^2-9}$ . Determina sus asíntotas.

AVerticales

x=3

x=-3

; horizontal

y=0

BVertical

x=3

; horizontal

y=0

CVerticales

x=\pm3

; oblicua

y=x

DVerticales

x=\pm3

; horizontal

y=1

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Verticales $x=3$ y $x=-3$ ; horizontal $y=0$

Correcto. El denominador

x^2-9

se anula en

x=\pm3

(asíntotas verticales

x=3

x=-3

). Como el grado del numerador (1) es menor que el del denominador (2), hay asíntota horizontal

y=0

. No hay oblicuas.

x^2-9=(x-3)(x+3)

se anula en

x=3

x=-3

(verticales). Como

\deg(\text{num})=1<\deg(\text{den})=2

\lim_{x\to\pm\infty}f=0

: asíntota horizontal

y=0

, sin oblicua.

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EvAU MAD 2024 — Pregunta 5 (programación lineal)Dificultat 3/5

Se dispone de 60 g de ácido acetilsalicílico para elaborar tabletas de 4 g ( $x$ ) y de 3 g ( $y$ ). Se necesitan al menos 3 tabletas de 4 g, al menos 8 de 3 g y al menos el doble de tabletas de 3 g que de 4 g. Cada tableta de 4 g da 1,5 € de beneficio y cada una de 3 g da 1 €. ¿Cuántas tabletas de cada tipo maximizan el beneficio?

x=3

y=8

(beneficio 12,50 €)

x=12

y=0

(beneficio 18 €)

x=6

y=12

(beneficio 21 €)

x=9

y=8

(beneficio 21,50 €)

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$x=6$ , $y=12$ (beneficio 21 €)

Correcto. Las restricciones son

4x+3y\le60

x\ge3

y\ge8

y\ge2x

. El vértice óptimo es

(6,12)

4\cdot6+3\cdot12=60

y=2x

. Beneficio

1{,}5\cdot6+1\cdot12=21

€.

Maximizar

B=1{,}5x+y

sujeto a

4x+3y\le60

x\ge3

y\ge8

y\ge2x

x,y\ge0

. El vértice óptimo es la intersección de

4x+3y=60

con

y=2x

4x+6x=60\Rightarrow x=6

y=12

. Beneficio máximo

1{,}5\cdot6+12=21

€.

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EvAU MAD 2024 — Pregunta 6 (sistema)Dificultat 3/5

Un equipo ha vendido entradas generales (10 €), de estudiante (8 €) e infantiles (5 €). Vendió 600 entradas y ganó 4900 €. Además vendió el doble de entradas generales que de infantiles. ¿Cuántas entradas generales se vendieron?

A100 entradas

B200 entradas

C300 entradas

D400 entradas

Veure solució

Resposta correcta — opció B

200 entradas

Correcto. Con

x=2z

x+y+z=600

10x+8y+5z=4900

resulta

z=100

x=200

y=300

. Se vendieron 200 generales.

Sea

x

y

z

el número de entradas generales, de estudiante e infantiles.

x+y+z=600

;

10x+8y+5z=4900

;

x=2z

. Sustituyendo:

3z+y=600

25z+8y=4900

, de donde

z=100

y=300

x=200

. Se vendieron 200 entradas generales.

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EvAU MAD 2024 — Pregunta 7 (discusión de sistema)Dificultat 3/5

Se considera el sistema dependiente del parámetro $a$ : $\begin{cases}2x+y+z=a\\ x+ay+z=a+1\\ x+y+az=2\end{cases}$ . ¿Para qué valor de $a$ el determinante de la matriz de coeficientes se anula?

a=1

a=2

a=-1

a=3

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$a=1$

Correcto. La matriz de coeficientes es

\begin{pmatrix}2&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}

, con

\det=2a^2-2a

(es decir

2a(a-1)

, que para esta matriz se anula en

a=1

doble). En

a=1

las tres ecuaciones tienen la misma matriz de coeficientes y el sistema deja de ser compatible determinado.

La matriz de coeficientes

\begin{pmatrix}2&1&1\\1&a&1\\1&1&a\end{pmatrix}

tiene

\det=2(a^2-1)-(a-1)+(1-a)=2a^2-2a=2a(a-1)

. El valor crítico de la discusión es

a=1

, donde el sistema pasa a ser compatible indeterminado o incompatible; para

a=1

x=z

y=1-x

y queda compatible indeterminado.

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EvAU MAD 2024 — Pregunta 8 (probabilidad)Dificultat 3/5

En un festival de 200 asistentes, a 90 personas les gusta el pop, a 70 el techno y a 30 ambos géneros. Eligiendo al azar a un asistente, ¿cuál es la probabilidad de que le guste al menos uno de los dos géneros?

0{,}80

0{,}45

0{,}65

0{,}35

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$0{,}65$

Correcto.

P(\text{pop}\cup\text{techno})=\frac{90}{200}+\frac{70}{200}-\frac{30}{200}=\frac{130}{200}=0{,}65

P(\text{pop}\cup\text{techno})=P(\text{pop})+P(\text{techno})-P(\text{ambos})=\frac{90}{200}+\frac{70}{200}-\frac{30}{200}=\frac{130}{200}=0{,}65

. (La probabilidad de que no le guste ninguno es

1-0{,}65=0{,}35

, y la de que le guste el techno pero no el pop es

\frac{40}{200}=0{,}20

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EvAU MAD 2024 — Pregunta 9 (intervalo de confianza)Dificultat 3/5

La cantidad de agua absorbida por una planta acuática sigue una normal de desviación típica $\sigma=8$ ml. En una muestra de $n=25$ plantas la media es $\bar{x}=120$ ml. Calcula el intervalo de confianza del 95 % ( $z_{\alpha/2}=1{,}96$ ) para la media.

(116{,}86;\,123{,}14)

(104{,}32;\,135{,}68)

(117{,}37;\,122{,}63)

(119{,}37;\,120{,}63)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$(116{,}86;\,123{,}14)$

Correcto. Error

E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{8}{\sqrt{25}}=1{,}96\cdot1{,}6=3{,}136

. IC

=(120-3{,}14;\,120+3{,}14)=(116{,}86;\,123{,}14)

IC para la media con

\sigma

conocida:

\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=120\pm1{,}96\cdot\frac{8}{5}=120\pm3{,}136

, es decir

(116{,}86;\,123{,}14)

ml.

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EvAU MAD 2024 — Pregunta 10 (probabilidad total)Dificultat 3/5

En tres tanques se crían el 35 % (A), 20 % (B) y 45 % (C) de los alevines. Miden más de 35 mm el 15 % de A, el 30 % de B y el 25 % de C. Eligiendo un alevín al azar, ¿cuál es la probabilidad de que mida más de 35 mm?