EvAU MadridConvocatòria ordinaria

Matemáticas CCSS EvAU Madrid 2023

Matemàtiques aplicades a les ciències socials — 2.º Bachillerato — Exercicis resolts amb explicació

Format de l'examen

1 hora 30 minutos
Cuatro ejercicios obligatorios de 2,5 puntos (opción A o B en el último)

Blocs temàtics

Álgebra y programación lineal
Análisis: derivadas e integrales
Probabilidad (total, Bayes, distribuciones)
Estadística inferencial (intervalos de confianza)

Web oficial de l'examen

9 exercicis a EureQuiz

Practica aquest examen amb variants il·limitades. Cada intent genera dades noves per aprendre realment el mètode.

Exercicis que canvien cada cop
Explicació detallada
XP i seguiment del progrés

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Exercicis de l'examen9 exercicis

EvAU MAD 2023 — A.2 (integral definida con parámetro)Dificultat 3/5

Sea $f(x)=6x^2+a\,e^{x}-2$ . Obtén el valor del parámetro $a$ sabiendo que $\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx=e-1$ .

a=2

a=1

a=e-1

a=-1

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$a=1$

Correcto.

\int_0^1(6x^2+a e^x-2)\,dx=\big[2x^3+a e^x-2x\big]_0^1=(2+ae-2)-(0+a-0)=a(e-1)

. Igualando a

e-1

sale

a=1

\int_0^1(6x^2+a e^x-2)\,dx=[2x^3+a e^x-2x]_0^1=(2+ae-2)-(a)=a(e-1)

. Igualando a

e-1

a(e-1)=e-1\Rightarrow a=1

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EvAU MAD 2023 — A.2b (recta tangente)Dificultat 3/5

Para $f(x)=6x^2+e^{x}-2$ (con $a=1$ ), obtén la ecuación de la recta tangente a la gráfica en el punto de abscisa $x=0$ .

y=-1

y=x+1

y=x-1

y=12x-1

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$y=x-1$

Correcto.

f(0)=e^0-2=-1

f'(x)=12x+e^x

f'(0)=1

. Tangente:

y=-1+1\cdot(x-0)=x-1

Con

a=1

f(x)=6x^2+e^x-2

f(0)=-1

f'(x)=12x+e^x

f'(0)=1

. La tangente es

y=-1+1\cdot x=x-1

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EvAU MAD 2023 — A.4 (probabilidad)Dificultat 3/5

Sean $A$ y $B$ con $P(A)=0{,}55$ , $P(B)=0{,}1$ y $P(\bar{B}\mid A)=0{,}89$ ( $\bar{B}$ es el complementario de $B$ ). Calcula $P(A\cap B)$ .

0{,}0605

0{,}4895

0{,}055

0{,}11

Veure solució

Resposta correcta — opció A

$0{,}0605$

Correcto.

P(B\mid A)=1-P(\bar{B}\mid A)=1-0{,}89=0{,}11

. Entonces

P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)=0{,}11\cdot0{,}55=0{,}0605

P(B\mid A)=1-P(\bar{B}\mid A)=0{,}11

. Por la definición de probabilidad condicionada,

P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)=0{,}11\cdot0{,}55=0{,}0605

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EvAU MAD 2023 — A.5 (intervalo de confianza)Dificultat 3/5

La capacidad de un bote de champú sigue una normal con $\sigma=10$ ml. En una muestra de $n=20$ botes la media es $\bar{x}=200$ ml. Calcula el intervalo de confianza del 95 % ( $z_{\alpha/2}=1{,}96$ ). ( $\sqrt{20}\approx4{,}472$ )

(180{,}40;\,219{,}60)

(196{,}32;\,203{,}68)

(195{,}62;\,204{,}38)

(199{,}02;\,200{,}98)

Veure solució

Resposta correcta — opció C

$(195{,}62;\,204{,}38)$

Correcto.

E=1{,}96\cdot\dfrac{10}{\sqrt{20}}=1{,}96\cdot2{,}236\approx4{,}38

. IC

=(200-4{,}38;\,200+4{,}38)=(195{,}62;\,204{,}38)

=\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=200\pm1{,}96\cdot\frac{10}{\sqrt{20}}=200\pm4{,}38

, es decir

(195{,}62;\,204{,}38)

ml.

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EvAU MAD 2023 — B.1 (sistema)Dificultat 3/5

Una pastelería tiene 220 buñuelos de chocolate, nata y crema. Hay el doble de buñuelos de nata que de crema. Además, el doble de los de crema más el triple de los de chocolate es igual al doble de los de nata. ¿Cuántos buñuelos de chocolate hay?

A40 buñuelos

B60 buñuelos

C120 buñuelos

D80 buñuelos

Veure solució

Resposta correcta — opció A

40 buñuelos

Correcto. Con

n=2c

(nata),

ch+n+c=220

2c+3ch=2n=4c

→

3ch=2c

→

ch=\tfrac{2c}{3}

. Sustituyendo:

\tfrac{2c}{3}+2c+c=220\Rightarrow c=60

n=120

ch=40

. Hay 40 de chocolate.

Sea

ch

n

c

ch+n+c=220

;

n=2c

;

2c+3ch=2n=4c\Rightarrow ch=\tfrac{2c}{3}

. Sustituyendo:

\tfrac{2c}{3}+2c+c=220\Rightarrow \tfrac{11c}{3}=220\Rightarrow c=60

n=120

ch=40

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EvAU MAD 2023 — B.2 (programación lineal)Dificultat 3/5

Se produce VERDE1 ( $x$ ) y VERDE2 ( $y$ ). Un litro de VERDE1 usa 0,3 L de azul y 0,7 L de amarillo; uno de VERDE2 usa 0,5 L de azul y 0,5 L de amarillo. Hay 20 L de azul y 28 L de amarillo, y no se pueden producir más de 30 L de VERDE1. Beneficio: 1 €/L de VERDE1 y 1,2 €/L de VERDE2. ¿Cuál es el beneficio máximo?

48

€

53{,}6

€

60

€

50

€

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$53{,}6$ €

Correcto. Restricciones:

0{,}3x+0{,}5y\le20

0{,}7x+0{,}5y\le28

x\le30

x,y\ge0

. El óptimo es el corte de las dos primeras:

x=20

y=28

B=20+1{,}2\cdot28=20+33{,}6=53{,}6

€.

Maximizar

B=x+1{,}2y

con

0{,}3x+0{,}5y\le20

0{,}7x+0{,}5y\le28

x\le30

x,y\ge0

. Restando las dos primeras:

0{,}4x=8\Rightarrow x=20

, y entonces

y=28

. Beneficio máximo

20+1{,}2\cdot28=53{,}6

€.

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EvAU MAD 2023 — B.3 (monotonía)Dificultat 3/5

Se considera $f(x)=-x^3+2x^2+4x$ . Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. ( $\sqrt{16}=4$ ; raíces de $-3x^2+4x+4$ en $x=2$ y $x=-\tfrac23$ )

ACrece en

(-\tfrac23,\,2)

; decrece en

(-\infty,-\tfrac23)

(2,+\infty)

BDecrece en

(-\tfrac23,\,2)

; crece fuera

CCrece en

(0,\,4)

; decrece fuera

DCrece en

(-\infty,\,2)

; decrece en

(2,+\infty)

Veure solució

Resposta correcta — opció A

Crece en $(-\tfrac23,\,2)$ ; decrece en $(-\infty,-\tfrac23)$ y $(2,+\infty)$

Correcto.

f'(x)=-3x^2+4x+4=-(3x+2)(x-2)

, raíces

x=-\tfrac23

x=2

. Como el coeficiente de

x^2

es negativo,

f'>0

entre las raíces: crece en

(-\tfrac23,2)

y decrece fuera.

f'(x)=-3x^2+4x+4

, con raíces

x=-\tfrac23

x=2

. Por ser parábola

\cap

f'>0

(-\tfrac23,2)

(crece) y

f'<0

fuera (decrece). En

x=-\tfrac23

hay mínimo relativo y en

x=2

máximo relativo.

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EvAU MAD 2023 — B.4 (probabilidad total)Dificultat 3/5

Las ayudas al estudio se reparten: 56,5 % Obligatorias, 24 % Universitarias y 19,5 % Postobligatorias. Las financia el ministerio en el 13,8 % de las Obligatorias, el 86,1 % de las Universitarias y el 80,3 % de las Postobligatorias. Eligiendo una ayuda al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la financie el ministerio?

0{,}601

0{,}441

0{,}207

0{,}534

Veure solució

Resposta correcta — opció B

$0{,}441$

Correcto.

P(\text{min})=0{,}565\cdot0{,}138+0{,}24\cdot0{,}861+0{,}195\cdot0{,}803=0{,}07797+0{,}20664+0{,}156585\approx0{,}441

Probabilidad total:

P(\text{min})=0{,}565\cdot0{,}138+0{,}24\cdot0{,}861+0{,}195\cdot0{,}803\approx0{,}078+0{,}207+0{,}157=0{,}441

. (Por Bayes,

P(O\mid\text{min})=\frac{0{,}078}{0{,}441}\approx0{,}177

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EvAU MAD 2023 — B.5 (distribución muestral de proporciones)Dificultat 3/5

El 30 % de una población tiene titulación universitaria. Se toma una muestra de $n=120$ individuos. ¿Cuál es la desviación típica de la proporción muestral $\hat{p}$ ? ( $\sqrt{0{,}30\cdot0{,}70/120}$ )